​行列式的基本概念

行列式的基本概念

行列式的定义和计算

如果一组数用行和列形式列出来我们称之为矩阵。

上面就是两行三列的矩阵。矩阵有很多应用，在线性代数中有具体的描述。

代数方程可以用矩阵的形式表示。下列是三元一次方程组：

若把它写成矩阵的形式即把系数放在矩阵中：

为了确定与此类矩阵相关的解的唯一性，需要求出行列式的值。 它在工程、经济、科学等领域有着广泛的应用。 这里我们将学习3阶以下的行列式基本知识。

定义:每个n阶的方阵A，都可以关联一个叫做方阵A阶行列式的。

1阶行列式(1×1)

虑一个矩阵a = [a]，那么这个矩阵的行列式等于a。

二阶行列式(2×2)

如果矩阵的阶是2，那么行列式定义为矩阵A，其中A是 如果矩阵的阶是2，那么行列式定义为矩阵A，其中A是

类似地，我们可以求出3×3阶的行列式 。

三阶行列式(3×3)

假设给定一个3阶矩阵A:

那么给出3×3矩阵的行列式的计算为：

|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32– a11 a23 a32 – a12 a21 a33 – a13 a31 a22

其特点是主对角线的为正，副对角线的为负号。

行列式的特性

现在让我们看一下行列式的基本性质:

性质1-行列式的行和列互换时，行列式的值保持不变。

性质2-如果行列式的任意两行(或两列)互换，则行列式的符号改变。

性质3-如果行列式的任意两行或两列相等或相同，则行列式的值为0。

性质4-如果一行或一列的每个元素都乘以一个常数k，那么原来得到的行列式的值就乘以k。

利用行列式求三角形面积

我们已经知道，顶点为(x1, y1) (x2, y2)和(x3, y3)的三角形的面积是;

A = 1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]

请参见如何利用顶点求三角形面积。

现在，我们可以把上面的表达式写成行列式的形式;

利用行列式解二元一次方程组

已知方程组：

它用矩阵表达为AX=B，其系数的行列式为A：

我们知道用消元法可得：

将上述的结果用行列式表达为：