​时间之弦，奇特的旋轮线

时间之弦，奇特的旋轮线

所谓旋轮线，是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。历史上，伴随着力学以及运动学的发展和进步，众多一流数学家投入对这一曲线的研究。然而，由于出现了很多不和谐的事情，导致这一曲线被称为"几何学中的海伦"。

（一） 两点之间最快的竟然不是直线？

在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条。那么，哪一条才是最快的呢？

这个问题是伽利略于1630年提出的。当时他认为这条线应该是一条圆弧，可是后来人们发现这个答案是错误的。1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等很多人解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，是旋轮线。

数学发展历史上出现很多轶事，旋轮线的段子是关于伽利略的：在没有微积分的年代，想要计算旋轮线下所包围的面积几乎是一件不可能完成的任务。

据说， Galileo 曾经用一种非常流氓的方法，推测出了旋轮线下方的面积。他在金属板上切出一块圆片，再在金属板边缘剪下这个圆形所对应的旋轮线，把它们拿到秤上一称，发现后者的重量正好是前者的三倍。于是，他推测，半径为 r 的滚轮所产生的旋轮线，其下方的面积就是 3πr2 。

利用积分及定积分结合旋轮线的参数表达式来计算，我们可以看出旋轮线具有下述性质：

旋轮线下的面积，为生成圆面积的3倍； 旋轮线的弧长，为生成圆直径的4倍；

尤其是它的弧长，竟然是一个与π无关的有理数。因此，这就解释了为什么在17世纪众多数学家对它趋之若鹜，并横生枝节了。

（二）旋轮线两个常见有趣的应用

滑梯是儿童乐园中常见的玩具。一般滑梯的滑板是平直的。小朋友从滑板上下滑的轨迹是一条线段。还有一种滑梯，它的滑板是弯曲的，小朋友下滑的轨迹是一段按最速降线设计的曲线。假设这两个滑梯的高度一样，并且有两个体重完全一样的小朋友同时分别自滑梯的顶点处下滑，这两个小朋友哪一个先到达地面？平面几何知识告诉我们：滑平直滑板的距离要比弯曲滑板的距离短。因此，前者所需要的时间要比后者为短。也就是说，前者先到达地面。但是，事实恰恰相反。

实验告诉我们，先到达地面的不是平直滑板上的小朋友，而是弯曲滑板上的小朋友！这是什么原因呢？儿童在滑梯上之所以能下滑，是因为受到重力的作用。由于板面不同，所以在下滑方向上所受到的重力分力大小也不同。重力分力越大的，下滑的速度也越大。沿着最速降线下滑，可以得到最大的重力分力，下滑的速度也最快。因此，虽然在最速降线板面上下滑的距离长，但还是先到达地面。

最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中的"大屋顶"，从侧面看上去，"等腰三角形"的两腰不是线段，而是两段最速降线。例如故宫里就随处可见。这种原理设计的好处有很多。当夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水以最快速度流走，对屋顶起到保护作用。同时也带来优美的视觉体验效果。我们的古人是不是很聪明呢？这样看来，"最速降线"这个名字倒是名符其实的。

（三）旋轮线的物理意义

旋轮线又称摆线，它有个很重要的性质：就是当单摆沿着该曲线摆动时，摆动周期与振幅无关。因此其在精密钟表的制作中发挥了重要作用。

根据摆线原理制作的行星传动齿轮机构，具有传动比大、结构紧凑、运行平稳、效率高、寿命长等特点，在机械传动领域得到广泛应用。另外，摆线还是最速降线问题的唯一解。对它的研究，导致数学上一个重要分支：变分学的出现。